O Teorema Central do Limite​

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O Teorema Central do Limite é um importante resultado da estatística e a demonstração de muitos outros teoremas estatísticos dependem dele. Em teoria das probabilidades, esse teorema afirma que quando o tamanho da amostra aumenta, a distribuição amostral da sua média aproxima se cada vez mais de uma distribuição normal. Este resultado é fundamental na teoria da inferência estatística.

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Na inferência estatística a utilidade do teorema central do limite vai desde estimar os parâmetros como a média populacional ou o desvio padrão da média populacional, a partir de uma amostra aleatória dessa população, ou seja, da média amostral e do desvio padrão da média amostral até calcular a probabilidade de um parâmetro ocorrer dado um intervalo, sua média amostral e o desvio padrão da média amostral. 

O teorema central do limite afirma que a média de uma amostra de n elementos de uma população tende a uma distribuição normal. Pode - se pensar de forma empírica que ao nos distanciarmos da média, a probabilidade de ocorrência diminui, ou seja, é mais provável ocorrer um evento que se encontra próximo da média do que um evento de um dos extremos.

Além disso, uma distribuição pode ganhar a forma de curva normal se possuir diferentes combinações para cada resultado possível do espaço amostral. Isso é válido (em se tratando de amostras discretas), para amostras suficientemente grandes da população. O suficientemente grande, varia de acordo com a população, para populações com distribuição quase simétrica, a amostra pode ser menor do que para populações cuja distribuição seja assimétrica. A curva normal obtida pode então ser convertida em uma curva binomial ou em uma curva de Poisson, e posteriormente pode - se ainda realizar uma correção de continuidade. A precisão da correção de continuidade também pode ser medida.

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Assim, é permitido inferir sobre a população através da média amostral e do desvio padrão amostral. Se extraíssemos todos os elementos da população, os dados sobre a amostra seriam exatamente iguais aos da população, mas isso pode ser demasiadamente custoso e/ou lento e/ou impossível (é impossível medir a resistência máxima de qualquer produto para todos os elementos da população).

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Distribuição Normal

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A Distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições da estatística, conhecida também como distribuição de Gauss ou Gaussiana.

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 Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estes valores consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma distribuição Normal. 

Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações for muito grande.  Essa importante propriedade provém do Teorema Central do Limite que diz que:

"Toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande."

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O Teorema Central do Limite é talvez o conceito mais importante em estatística. Para qualquer distribuição com média finita e desvio padrão, as amostras colhidas nessa população tenderão a uma distribuição normal em torno da média da população à medida que o tamanho da amostra aumenta. Além disso, à medida que o tamanho da amostra aumenta, a variação da média da amostra diminui.

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Uma distribuição é a maneira pela qual um conjunto de valores é distribuído por um possível intervalo de valores. Uma maneira comum de visualizar uma distribuição é um histograma que mostra o número de elementos, ou frequência, dentro dos intervalos de valores:

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